用性质 + 降阶展开计算具体行列式

题目

计算 $\det A=\det \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right)$。

分析

直接计算 $4!=24$ 项繁琐。用行变换化为上三角再乘对角元，或先用性质化简再展开。

关键观察：各行元素和相同（$1+2+3+4=10$），将第 2、3、4 列加到第 1 列可提取公因子。

解答

解： 将第 2、3、4 列加到第 1 列，行列式不变：

$$\det A=\det \left(\begin{array}{cccc}10& 2& 3& 4\\ 10& 3& 4& 1\\ 10& 4& 1& 2\\ 10& 1& 2& 3\end{array}\right)=10\cdot \det \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 4& 1\\ 1& 4& 1& 2\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right).$$

第 1 行 $\times (-1)$ 加到第 2、3、4 行：

$$=10\cdot \det \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 1& -3\\ 0& 2& -2& -2\\ 0& -1& -1& -1\end{array}\right).$$

按第 1 列展开得 $3$ 阶行列式：

$$=10\cdot \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 2& -2& -2\\ -1& -1& -1\end{array}\right).$$

第 2 行提出 2，第 3 行提出 $-1$：

$$=10\cdot 2\cdot (-1)\cdot \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 1& -1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=-20\cdot \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 1& -1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

第 1 行 $\times (-1)$ 加到第 2、3 行：

$$=-20\cdot \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -3\\ 0& -2& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right)=-20\cdot 1\cdot (-2)\cdot 4=160.$$

$■$

关键技巧

• 行和相等 ⇒ 加到第 1 列提取公因子——循环矩阵的常见技巧。
• 每次变换后及时展开降阶，避免高维手算。

变式

• 变式 1：$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right)$——Vandermonde 行列式特例，直接代公式。