Vandermonde 行列式应用

题目

1. 证明：$\det \left(\begin{array}{cccc}1& a& a^2& a^4\\ 1& b& b^2& b^4\\ 1& c& c^2& c^4\\ 1& d& d^2& d^4\end{array}\right)=(a+b+c+d+\cdots ){\prod }_{i<j}(x_j-x_i)$。
2. 求 $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^3& x_2^3& x_3^3\end{array}\right)$。

分析

第 1 题不是标准 Vandermonde（幂次跳跃了 $x^3$），可通过补行/列凑成 Vandermonde 后比较系数。

解答

第 2 题

$$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^3& x_2^3& x_3^3\end{array}\right)$$

补成 4 阶 Vandermonde：考虑 $V_4(x_1,x_2,x_3,y)$ 中 $y^2$ 的系数可得。结果为

$$=(x_1+x_2+x_3)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3).$$

关键技巧

• 补行/列法是 Vandermonde 应用的核心技巧。