Cramer 法则应用

题目

用 Cramer 法则解方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=6,\\ 2x_1-x_2+x_3=3,\\ x_1+3x_2-2x_3=1.\end{array}$$

解答

解： 系数矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 3& -2\end{array}\right),\det A=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 3& -2\end{array}\right).$$

计算 $\det A$（将第 1 行 $\times (-2),(-1)$ 加到第 2、3 行，再按第 1 列展开）：

$$\det A=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -3& -1\\ 0& 2& -3\end{array}\right)=1\cdot [(-3)(-3)-(-1)(2)]=9+2=11\ne 0.$$

分别计算：

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 3& -1& 1\\ 1& 3& -2\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right).$$

计算得：

$$\det A_1=\det \left(\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 3& -1& 1\\ 1& 3& -2\end{array}\right)=33,\det A_2=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)=22,\det A_3=\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)=11.$$

因此

$$x_1=\frac{33}{11}=3,x_2=\frac{22}{11}=2,x_3=\frac{11}{11}=1.$$

$■$

关键技巧

• 用 Cramer 法则验证解的存在唯一性比实际求解更方便（$n\ge 4$ 时计算量大）。
• 本例展示 $\det A\ne 0$ 保证唯一解，实际计算 $3\times 3$ 系统已属边缘适用场景。