伴随矩阵求逆应用

题目

已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$，求 $A^{-1}$。

分析

用公式 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$。先计算 $\det A$，再计算所有 9 个代数余子式并构造 $A^{\ast }$。

解答

解： 先计算 $\det A$（按第 3 行展开方便）：

$$\det A=(-1)\cdot \det \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)+0\cdot (\cdots )+2\cdot \det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)=(-1)(1)+2(1-6)=-1-10=-11.$$

计算代数余子式 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$：

$$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\det \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2,& A_{12}& =-\det \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=-6,& A_{13}& =\det \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=1,\\ & & & & & \\ A_{21}& =-\det \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=-4,& A_{22}& =\det \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=1,& A_{23}& =-\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\end{array}\right)=-2,\\ & & & & & \\ A_{31}& =\det \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=1,& A_{32}& =-\det \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)=-3,& A_{33}& =\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)=-5.\end{array}$$

伴随矩阵（注意转置）：

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 1\\ -6& 1& -3\\ 1& -2& -5\end{array}\right).$$

所以

$$A^{-1}=\frac{1}{-11}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 1\\ -6& 1& -3\\ 1& -2& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{2}{11}& \frac{4}{11}& -\frac{1}{11}\\ \frac{6}{11}& -\frac{1}{11}& \frac{3}{11}\\ -\frac{1}{11}& \frac{2}{11}& \frac{5}{11}\end{array}\right).$$

验证 $A{A}^{-1}=I$ 留给读者。

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关键技巧

• 伴随矩阵求逆理论价值高，实际 $n\ge 4$ 时计算量大，实践用高斯消元。
• 验证公式：$A\cdot A^{\ast }=(\det A)I$——正确性的保险丝。