行列式计算综合

题目

计算以下 $n$ 阶行列式：

三对角行列式： $D_{n} = det a c 0 ⋮ 0 b a c ⋮ 0 0 b a ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 000 ⋮ a$ 。
循环行列式： $C_{n} = det x_{1} x_{n} x_{n - 1} ⋮ x_{2} x_{2} x_{1} x_{n} ⋮ x_{3} x_{3} x_{2} x_{1} ⋮ x_{4} \dots \dots \dots ⋱ \dots x_{n} x_{n - 1} x_{n - 2} ⋮ x_{1}$ 。

三对角行列式：按第 1 行展开，得到递推关系 $D_{n} = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2}$ 。解特征方程 $t^{2} - a t + b c = 0$ 。
循环行列式：利用单位根 $ω = e^{2 πi / n}$ ，构造 $f (ω^{k}) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} ω^{k (j - 1)}$ ，则 $C_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} f (ω^{k})$ 。

按第一行展开：

D_{n} = a \cdot D_{n - 1} - b \cdot det c 0 ⋮ b a ⋮ 0 b ⋱ = a D_{n - 1} - b c D_{n - 2} .

解特征方程 $t^{2} - a t + b c = 0$ ，设两根为 $α, β$ 。

若 $α \neq = β$ ： $D_{n} = \frac{α ^{n + 1} - β ^{n + 1}}{α - β}$ 。若 $α = β$ ： $D_{n} = (n + 1) α^{n}$ 。

令 $f (x) = x_{1} + x_{2} x + \dots + x_{n} x^{n - 1}$ ， $ω = e^{2 πi / n}$ 。则 $C_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} f (ω^{k})$ 。