伴随矩阵与逆矩阵

题目

1. 证明：若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵（$n\ge 2$），则 $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{\det A}A$。

2. 证明：$\mathrm{rank}(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& \mathrm{rank}(A)=n,\\ 1,& \mathrm{rank}(A)=n-1,\\ 0,& \mathrm{rank}(A)\le n-2.\end{array}$

3. 已知 $A$ 是 $3$ 阶方阵且 $|A|=2$，求 $|(2A{)}^{-1}-A^{\ast }|$。

提示

1. 利用 $A{A}^{\ast }=(\det A)I$，对两边取逆或转置。
2. 分情况讨论 $\det A\ne 0$、$\mathrm{rank}(A)=n-1$、$\mathrm{rank}(A)\le n-2$。
3. 用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 化简表达式，再求行列式。