Cramer 法则综合应用

题目

1. 含参方程组

$k$ 取何值时

$$\{\begin{array}{l}kx+y+z=1,\\ x+ky+z=k,\\ x+y+kz=k^2\end{array}$$

有唯一解？求该解。

2. 多项式插值

求不超过 2 次的多项式 $p(x)$ 使得 $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=6$。

提示

• 系数矩阵的行列式 $\det A=(k+2)(k-1{)}^2$。由 Cramer 法则，$\det A\ne 0$ 时有唯一解，即 $k\ne 1$ 且 $k\ne -2$。分别计算 $x,y,z$。
• 设 $p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$，代入三点得 Vandermonde 型方程组，用 Cramer 法则求系数。

参考解答

解答 1. 含参方程组

系数矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 1\\ 1& k& 1\\ 1& 1& k\end{array}\right)$，$\det A=(k+2)(k-1{)}^2$。

唯一解条件：$k\ne 1$ 且 $k\ne -2$。

y = \frac{-k^2 + k + 2}{(k+2)(k-1)^2}, \quad z = \frac{(k-1)(k+1)}{(k+2)(k-1)^2}.$$ ### 解答 2. 多项式插值 由 Vandermonde 行列式 $\det \begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&9\end{pmatrix} = (3-1)(3-2)(2-1) = 2$， 用 Cramer 法则解得 $p(x) = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^2$。 验证：$p(1)=2, p(2)=3, p(3)=6$ 成立。