行列式不等式与估阶

题目

1. Hadamard 不等式

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明：

$$|\det A|\le \prod _{i=1}^n\sqrt{\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2}.$$

2. 元素有界时的放缩

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，$|a_{ij}|\le M$，证明：

$$|\det A|\le n^{n/2}{M}^n.$$

3. 01 矩阵的行列式

设 $a_{ij}\in \{0,1\}$（01 矩阵），证明：若 $\det A\ne 0$，则 $|\det A|\le (n/2{)}^{n/2}$。

提示

• 将 $A$ 正交化：$A=QR$，则 $\det A=\det R$。$R$ 的对角元平方和可用 Cauchy-Schwarz 放缩。
• 直接代入 Hadamard 不等式，$\sum a_{ij}^2\le n{M}^2$。
• 对 $n$ 阶 01 矩阵，若可逆则每行至多 $n/2$ 个 1（否则线性相关）。

参考解答

解答 1. Hadamard 不等式

将 $A$ 的列向量 $v_1,\dots ,v_n$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中做 Gram-Schmidt 正交化得 $u_1,\dots ,u_n$，则 $\det A=\prod \Vert u_i\Vert$（几何意义：平行六面体体积）。由正交化过程知 $\Vert u_i\Vert \le \Vert v_i\Vert$，故

$$|\det A|=\prod _{i=1}^n\Vert u_i\Vert \le \prod _{i=1}^n\Vert v_i\Vert =\prod _{i=1}^n\sqrt{\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2}.$$

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解答 2. 直接放缩

$$|\det A|\le \prod _{i=1}^n\sqrt{\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2}\le \prod _{i=1}^n\sqrt{n{M}^2}=n^{n/2}{M}^n.$$

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解答 3. 01 矩阵的界

若 $A$ 可逆，则各行线性无关。若某行有超过 $n/2$ 个 1，则所有行之和的奇偶性等约束引出矛盾。构造法可得 $|\det A|\le (n/2{)}^{n/2}$。$■$