行列式乘法定理

条件

设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵。

结论

$$\begin{gathered} det(AB)=( \\ detA)( \\ detB). \end{gathered}$$

直觉理解

行列式是衡量线性变换”体积缩放因子”的。复合变换 $AB$ 先做 $B$ 再做 $A$，总体积缩放因子自然是两个缩放因子的乘积。

证明思路

对 $A$ 做初等行变换化为对角形 $PAQ=D$，则 $$\begin{gathered} detA= \\ det{P}^{-1} \\ detD \\ det{Q}^{-1} \end{gathered}$$。利用初等矩阵与行列式的关系计算 $$\begin{gathered} det(AB)=( \\ detA)( \\ detB) \end{gathered}$$。$blacksquare$

常见错误

• ✗ 以为 $$\begin{gathered} det(A+B)= \\ detA+ \\ detB \end{gathered}$$——行列式对加法不线性。