用 ε-N 定义证明数列收敛

题目

利用 ANL-DEF-004 ε-N 定义直接证明下列数列收敛：

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第 1 题：化简 $\frac{3 n + 2}{n + 1} - 3 = \frac{1}{n + 1}$ ，再控制小于 $ε$ 。
第 2 题： $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} - 1 = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ 。注意 $n^{2} + 1 > n^{2}$ 给出更易控的上界。
第 3 题：分子有理化 $n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} < \frac{1}{2 n}$ 。
第 4 题： $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2} + 5} = \frac{1}{n ^{2} + 5} < \frac{1}{n ^{2}}$ ，进而 $< \frac{1}{n}$ 。

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证明： 任给 $ε > 0$ 。

\frac{3 n + 2}{n + 1} - 3 = \frac{3 n + 2 - 3 ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} .

要使上述 $< ε$ ，只需 $n > 1/ ε$ 。取 $N = ⌈ 1/ ε ⌉$ ，则 $\forall n > N$ 上述不等式成立。依 ANL-DEF-004， $lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 2}{n + 1} = 3$ 。 $■$

证明： 任给 $ε > 0$ 。

\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} - 1 = \frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n} .

取 $N = ⌈ 1/ ε ⌉$ ，则 $\forall n > N$ ， $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1} - 1 < ε$ 。 $■$

注：取更紧的上界 $\frac{1}{n ^{2}}$ 也行（ $N = ⌈ 1/ ε ⌉$ ），但工程上”够用即可”—— $\frac{1}{n}$ 简单且合法。

证明： 任给 $ε > 0$ 。

分子有理化：

n + 1 - n = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n} < \frac{1}{2 n} .

要使 $\frac{1}{2 n} < ε$ ，即 $n > \frac{1}{2 ε}$ ，即 $n > \frac{1}{4 ε ^{2}}$ 。

取 $N = ⌈ \frac{1}{4 ε ^{2}} ⌉$ ， $\forall n > N$ 上式成立。 $■$

证明： 任给 $ε > 0$ 。

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2} + 5} - 0 = \frac{1}{n ^{2} + 5} < \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n} .

（第二个不等式因 $n \geq 1$ 时 $n^{2} \geq n$ 。）

取 $N = ⌈ 1/ ε ⌉$ 即可。 $■$

ε-N 直接证明的标准模板：