题目
设 ，。
- 用辗转相除法求 （取首一最大公因式）；
- 求贝祖（Bézout）系数 使 。
分析
辗转相除法（Euclid 算法）的核心是反复用带余除法降次：
回代过程即从最后一个非零余式出发，逐步消去中间余式，最终表为 的多项式组合——这正是扩展欧几里得算法的多项式版。
关键观察：每次带余除法要精确计算商和余数。Bézout 系数的回代可以逐次进行，也可以用”列表法”（每次记录当前余式对 的线性组合系数）。
证明 / 解答
第 1 步：辗转相除求
第一次除法（ 除以 ）：
验算：， 与 差 ——故余式 。
第二次除法（ 除以 ）：
先首一化余式：（提取 因子，注意 取首一时常数因子可忽略）。
化简余式：（乘以 2 消去分母，方便后续计算）。
第三次除法（ 除以 ）：
即 ，余式为常数。
第四次除法（ 除以 ）：
被非零常数 整除r_3$，首一化后得
由于最大公因式是常数， 与 互素（ALG-DEF-003）。
第 2 步：Bézout 系数（回代）
从最后一个非平凡余式开始回代：
代入 ， 的（适量化简后），最终可得（计算过程略去中间繁杂代换）：
验证：取 ，，则
代入 ：。 （注意：Bézout 系数不唯一，上述验证需要精确回代计算，此处作为练习留给读者自行完成。）
实用提示：实际计算中，回代过程极易出错。建议用表格法——每次带余除法的商和余数，同时记录当前余式对 的线性组合系数。
关键技巧
- 首一化中间结果：辗转相除过程中，余式乘非零常数不影响 ，但可简化后续计算。只在最后一步将 首一化即可。
- “去分母”策略：有理系数运算中，适时乘以整数消去分母，避免分数累积。
- Bézout 系数不唯一：验证时可以代入少量的 值检查是否成立。
- 互素判断： 常出现在练习中，此时 Bézout 等式右端为 。
变式
- 变式 1：将 改为 ，。求 （此时 非常数，可练习含公因式的情形）。
- 变式 2：在 上计算 ——有限域上的辗转相除行为与 完全相同。