不可约性与唯一分解证明

题目

1. 设 $p(x)\in K[x]$ 不可约。证明：对任意 $f(x)\in K[x]$，要么 $p\mid f$，要么 $\gcd (p,f)=1$。
2. 利用 (1) 证明：若不可约多项式 $p$ 满足 $p\mid fg$，则 $p\mid f$ 或 $p\mid g$。（不可约 ⇒ 素性）
3. 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中，判断 $f(x)=x^4+2x^2+1$ 是否可约。若可约，给出分解。

提示

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• 第 1 题：设 $d=\gcd (p,f)$。由于 $p$ 不可约，$d$ 只能是 $1$ 或 $p$ 的常数倍。
• 第 2 题：若 $p\nmid f$，由第 1 题知 $\gcd (p,f)=1$，存在 $u,v$ 使 $up+vf=1$，乘以 $g$ 后利用 $p\mid fg$。
• 第 3 题：令 $y=x^2$，则 $f=y^2+2y+1=(y+1{)}^2$，代回 $x$。

解答

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第 1 题

因为 $p$ 不可约（ALG-DEF-004），其因式只有非零常数和 $p$ 的非零常数倍。设 $d=\gcd (p,f)$（首一化），则 $d\mid p$。故 $d$ 要么是 1，要么是 $p$（首一化后）。

• 若 $d=1$，则 $\gcd (p,f)=1$。
• 若 $d=p$，则 $p\mid f$。$■$

第 2 题

设 $p\mid fg$。若 $p\mid f$，结论已成立。若 $p\nmid f$，由第 1 题知 $\gcd (p,f)=1$。由 Bézout 等式（ALG-THM-003），存在 $u,v\in K[x]$ 使

$$up+vf=1.$$

两边乘以 $g$：

$$upg+vfg=g.$$

因为 $p\mid fg$，设 $fg=ph$，代入得 $g=p(ug+vh)$，故 $p\mid g$。$■$

第 3 题

令 $y=x^2$，则

$$f(x)=x^4+2x^2+1=y^2+2y+1=(y+1{)}^2=(x^2+1{)}^2.$$

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中，$x^2+1$ 是不可约的（无有理根，$\mathrm{deg}=2$），故 $f=(x^2+1{)}^2$ 是 $f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中的标准分解。$f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中可约（分解为两个二次式的乘积），且有重因式 $(x^2+1)$（2重）。

在 $\mathbb{C}[x]$ 中进一步分解：$x^2+1=(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i})$，故 $f=(x-\mathrm{i}{)}^2(x+\mathrm{i}{)}^2$。

考察点

• ALG-DEF-004 不可约多项式的性质
• ALG-THM-002 唯一分解定理的证明思路
• ALG-THM-003 Bézout 等式的应用