求向量组的秩与极大无关组

题目

求向量组 ${\alpha }_1=(1,2,1,0)$，${\alpha }_2=(2,1,0,1)$，${\alpha }_3=(1,-1,-1,2)$，${\alpha }_4=(3,0,-1,3)$ 的秩和一个极大线性无关组。

解答

解： 以 ${\alpha }_i$ 为行构成矩阵，化为行阶梯形（也可用列向量做，等价）：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& 0& 1\\ 1& -1& -1& 2\\ 3& 0& -1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -2& 1\\ 0& -3& -2& 2\\ 0& -6& -4& 3\end{array}\right)$$ $$\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -2& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

非零行数为 $3$，故 $\mathrm{rank}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=3$。

一个极大无关组：${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$（对应阶梯形前三个主元行）。

验证：${\alpha }_4={\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3$（可由前三者线性表示）。

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