求齐次方程组的基础解系

题目

求齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，其中

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 4& -2& 2\\ -1& -2& 1& -1\end{array}\right).$$

解答

解： 化为行阶梯形：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 4& -2& 2\\ -1& -2& 1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

所以 $\mathrm{rank}(A)=1$，基础解系含 $n-r=4-1=3$ 个向量。

自由变量为 $x_2,x_3,x_4$，取 $(x_2,x_3,x_4)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，得：

$${\eta }_1=(-2,1,0,0),{\eta }_2=(1,0,1,0),{\eta }_3=(-1,0,0,1).$$

通解：$x=c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+c_3{\eta }_3$，$c_i\in \mathbb{R}$。

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