含参数线性方程组的解的讨论

题目

$k$ 取何值时，方程组有唯一解、无穷多解或无解？

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+k{x}_3=1,\\ x_1+k{x}_2+x_3=1,\\ k{x}_1+x_2+x_3=1.\end{array}$$

解答

解： 系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $(A\mid b)$：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& k\\ 1& k& 1\\ k& 1& 1\end{array}\right),(A\mid b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& k& 1\\ 1& k& 1& 1\\ k& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

计算 $\det A=(k+2)(k-1{)}^2$。

• $k\ne 1$ 且 $k\ne -2$：$\det A\ne 0$，$\mathrm{rank}(A)=3=\mathrm{rank}(A\mid b)$，唯一解。
• $k=1$：$A$ 各行全为 $(1,1,1)$，$\mathrm{rank}(A)=1$，增广矩阵各行也全为 $(1,1,1\mid 1)$，$\mathrm{rank}(A\mid b)=1$，无穷多解（自由度 $2$）。
• $k=-2$：经初等变换得增广矩阵末行为 $(0,0,0\mid 3)$，$\mathrm{rank}(A)=2<\mathrm{rank}(A\mid b)=3$，无解。

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