秩与线性相关性综合

题目

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。证明 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$ 也线性无关。若将条件改为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，结论是否成立？举例说明。

提示

设 $k_1({\alpha }_1+{\alpha }_2)+k_2({\alpha }_2+{\alpha }_3)+k_3({\alpha }_3+{\alpha }_1)=0$，整理成 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的线性组合，利用无关性证明系数全为零。