解的结构证明

题目

1. 设 $x_1,x_2$ 是 $Ax=b$ 的两个解。证明 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 也是解当且仅当 $b=0$（即齐次）。
2. 设 $Ax=b$ 有无穷多解且 $b\ne 0$，证明这些解的任意线性组合仍是解当且仅当系数之和为 1。

提示

1. 直接代入，利用 $A(x_1+x_2)/2=b$ 推出条件。
2. 设 $x=\sum {\lambda }_i{x}_i$，代入 $A$ 得 $(\sum {\lambda }_i)b=b$。