秩不等式证明

题目

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times p$ 矩阵，$C$ 是 $p\times q$ 矩阵。

1. 证明 Sylvester 秩不等式：$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n\le \mathrm{rank}(AB)$。
2. 证明 Frobenius 秩不等式：$\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(ABC)$。

提示

1. 考虑分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ I& B\end{array}\right)$ 的秩，通过初等变换得到 $\left(\begin{array}{cc}0& -AB\\ I& B\end{array}\right)$。
2. 对分块阵 $\left(\begin{array}{cc}ABC& 0\\ 0& B\end{array}\right)$ 做初等变换；或用线性映射的维数公式。