验证线性空间 / 子空间

题目

判断下列集合是否构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间，并说明理由：

1. $W_1=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x+y+z=0\}$。
2. $W_2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x+y+z=1\}$。
3. $W_3=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2=z^2\}$。

解答

解：

1. $W_1$ 是子空间。验证：$(0,0,0)\in W_1$；设 $u,v\in W_1$，则坐标和为零，$u+v$ 的坐标和也为零；$au$ 同理。

2. $W_2$ 不是子空间。因为 $(0,0,0)\notin W_2$（原点不满足 $0+0+0=1$），子空间必须包含零向量。

3. $W_3$ 不是子空间。虽然包含零向量且对数乘封闭（若 $(x,y,z)$ 满足 $x^2+y^2=z^2$，则 $(ax{)}^2+(ay{)}^2=a^2(x^2+y^2)=a^2{z}^2=(az{)}^2$），但加法不封闭：$(1,0,1)\in W_3$，$(0,1,1)\in W_3$，但 $(1,1,2)$ 不满足 $1^2+1^2=2\ne 4=2^2$。

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