求基、维数与坐标

题目

设 $V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4\mid x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$。

1. 证明 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^4$ 的子空间，并求 $\dim V$。
2. 求 $V$ 的一组基，并求向量 $(1,-1,1,-1)$ 在这组基下的坐标。

解答

解：

1. $0\in V$；对 $u,v\in V$，$(u+v)$ 的分量和也为零；数乘同理。$\dim V=4-1=3$。

2. 取自由变量 $x_2,x_3,x_4$，令 $x_1=-(x_2+x_3+x_4)$。令三个自由变量分别取 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 得基： $B=\{{\alpha }_1=(-1,1,0,0),{\alpha }_2=(-1,0,1,0),{\alpha }_3=(-1,0,0,1)\}$。

   解 $v=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$ 得 $v$ 的坐标为 $[v{]}_B=(2,0,-1)$。

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