基变换与过渡矩阵计算

题目

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中有两组基：

$B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$， $B^{\prime }=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$。

1. 求从 $B$ 到 $B^{\prime }$ 的过渡矩阵。
2. 求向量 $v=(3,2,1)$ 在 $B^{\prime }$ 下的坐标。

解答

解：

1. $B^{\prime }$ 的向量在 $B$（标准基）下的坐标就是它们本身，排成列得过渡矩阵 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。

2. $[v{]}_B=(3,2,1{)}^{\top }$。$[v{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[v{]}_B$。

   计算 $P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$，得 $[v{]}_{B^{\prime }}=(2,1,0{)}^{\top }$。

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