求线性变换的矩阵、核与像

题目

设 $\phi :{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 定义为 $\phi (x,y,z)=(x+y,y+z,z+x)$。

1. 求 $\phi$ 在标准基下的矩阵 $A$。
2. 求 $\ker \phi$ 和 $\mathrm{im}\phi$ 的基与维数。
3. 验证秩-零化度定理。

解答

解：

1. $\phi (1,0,0)=(1,0,1)$，$\phi (0,1,0)=(1,1,0)$，$\phi (0,0,1)=(0,1,1)$。 所以 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$。

2. 解 $Av=0$ 得 $\ker \phi =\mathrm{span}\{(1,-1,1)\}$，$\dim \ker \phi =1$。 $\mathrm{im}\phi =\mathrm{span}\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}$，$\dim \mathrm{im}\phi =2$。

3. $\dim {\mathbb{R}}^3=3=1+2=\dim \ker \phi +\dim \mathrm{im}\phi$。✓

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