求特征值、特征向量并对角化

题目

判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ 是否可对角化。若可，求 $P$ 和 $D$。

解答

解： 特征多项式：

$$\det (\lambda I-A)=\det \left(\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ 0& \lambda -2& 0\\ 0& 0& \lambda -3\end{array}\right)=(\lambda -2{)}^2(\lambda -3).$$

特征值 $\lambda =2$（代数重数 2），$\lambda =3$（代数重数 1）。

对 $\lambda =2$：解 $(A-2I)v=0$：

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)v=0\Rightarrow v=(1,0,0{)}^{\top }.$$

几何重数 = 1 < 代数重数 2，所以 不可对角化。

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