Cayley–Hamilton 应用 / Jordan 标准形

题目

已知 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$。

1. 求 ${\chi }_A(\lambda )$ 并验证 Cayley–Hamilton 定理。
2. 求 $A$ 的 Jordan 标准形。
3. 利用 Jordan 标准形求 $A^n$。

解答

解：

1. ${\chi }_A(\lambda )=(\lambda -2{)}^2$。验证： $(A-2I{)}^2={\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}^2=0$。✓

2. $A$ 的特征值 $2$，代数重数 2，几何重数 1。Jordan 标准形： $J=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$（即 $A$ 本身就是 Jordan 块）。

3. 由 $A=2I+N$，$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$N^2=0$： $A^n=(2I+N{)}^n=2^{n}I+n{2}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$。

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