核、像与秩-零化度综合

题目

设 $\phi :V\to V$ 是线性变换，$V$ 是 $n$ 维线性空间。证明：

1. $\ker \phi \subseteq \ker {\phi }^2\subseteq \cdots$，且若 $\ker {\phi }^k=\ker {\phi }^{k+1}$，则对所有 $m\ge k$，$\ker {\phi }^m=\ker {\phi }^k$。
2. 若 $\mathrm{im}\phi =\mathrm{im}{\phi }^2$，则 $\phi$ 可逆。