Jordan 标准形 / 谱定理综合

题目

1. 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形与最小多项式。
2. 设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$，用谱定理求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{\top }AQ$ 为对角矩阵。
3. 证明：若 $A$ 是实对称矩阵且所有特征值 ${\lambda }_i>0$，则 $A$ 正定（即 $x^{\top }Ax>0$ 对所有 $x\ne 0$）。