用 Cauchy 收敛准则证明数列收敛性

题目

利用 ANL-THM-007 Cauchy 收敛准则证明或反驳：

1. 证明收敛：$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ 收敛。
2. 证明发散：调和数列 $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ 不是 Cauchy 列，从而不收敛。
3. 构造与判定：$b_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$ 是否是 Cauchy 列？

提示

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• 第 1 题：估计 $|a_n-a_m|$ 当 $n>m$。利用 $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$（裂项）。
• 第 2 题：取 $m=n$ 与 $2n$（具体配对），证明 $|H_{2n}-H_n|\ge 1/2$ 恒成立——直接违反 Cauchy 条件。
• 第 3 题：交错级数。配对相邻两项 $\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}+\frac{(-1{)}^{k+2}}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}$（同号正），可估上界。或用 Leibniz 判别。

解答

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第 1 题：$\sum 1/k^2$ 收敛

证明： 验证 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 列。

任给 $\epsilon >0$。对 $n>m\ge 1$：

$$|a_n-a_m|=\sum _{k=m+1}^n\frac{1}{k^2}.$$

利用裂项不等式 $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$（$k\ge 2$）：

$$\sum _{k=m+1}^n\frac{1}{k^2}<\sum _{k=m+1}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}.$$

要使 $\frac{1}{m}<\epsilon$，取 $N=\lceil 1/\epsilon \rceil$。

对 $\forall m,n>N$（不妨设 $n>m$），$|a_n-a_m|<\frac{1}{m}<\frac{1}{N}\le \epsilon$。

故 $\{a_n\}$ 是 ANL-DEF-002 Cauchy 列。由 ANL-THM-007，$\{a_n\}$ 收敛。$■$

实际上 ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$（Basel 问题，Euler 1735）。

第 2 题：调和数列发散

证明： 验证 $\{H_n\}$ 不是 Cauchy 列。

取 $m=n,n^{\prime }=2n$（即 $|H_{2n}-H_n|$）。

$$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}.$$

共 $n$ 项，每项 $\ge \frac{1}{2n}$，故

$$H_{2n}-H_n\ge n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}.$$

取 ${\epsilon }_0=1/2$。对任何 $N$，可取 $m=n_1=N+1,n_2=2(N+1)>N$， 则 $|H_{n_2}-H_{n_1}|\ge 1/2={\epsilon }_0$。

故 ANL-DEF-002 Cauchy 条件失败，$\{H_n\}$ 不是 Cauchy 列； 由 ANL-THM-007，$\{H_n\}$ 不收敛（$H_n\to \infty$）。$■$

第 3 题：交错调和级数是 Cauchy 列

证明： 验证 $\{b_n\}$ 是 Cauchy 列。

对 $n>m\ge 1$：

$$b_n-b_m=\sum _{k=m+1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}.$$

关键技巧（Abel 求和 / 配对）：把相邻两项配对。不失一般性设 $n-m$ 为偶数（奇数情形类似处理多余的尾项）：

• 若 $m$ 为偶数：$(b_n-b_m)=\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}+\frac{1}{m+3}-\cdots$。配对相邻负正两项： $$\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}\right)+\left(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+4}\right)+\cdots$$ 每对都为正，且整体被 $\frac{1}{m+1}$ 控制（去掉所有负项后剩下首项加少量正项的上界）。

更简捷的估计：$|b_n-b_m|\le \frac{1}{m+1}$（交错级数余项的标准估计）。

证：把求和按 $\frac{1}{m+1}-\left(\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+3}\right)-\left(\frac{1}{m+4}-\frac{1}{m+5}\right)-\cdots$ 改写——除首项外每个括号都是正的，故 $|b_n-b_m|\le \frac{1}{m+1}$。

任给 $\epsilon >0$，取 $N=\lceil 1/\epsilon \rceil$，$\forall n>m>N$： $|b_n-b_m|\le \frac{1}{m+1}<\frac{1}{N}\le \epsilon$。

故 $\{b_n\}$ 是 Cauchy 列，由 ANL-THM-007 收敛。$■$

实际上 ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2$。

考察点

• ANL-DEF-002 Cauchy 列定义的”任意两项”理解（不是仅相邻两项）
• ANL-THM-007 Cauchy 准则的双向应用
• 估计技巧：裂项、配对、放缩

备注

第 1、2 题对照说明 Cauchy 准则的强大：

• $1/k^2$ 比 $1/k$ 衰减”略快一点”，前者收敛后者发散——分水岭就在 $\sum 1/k^p$ 中 $p>1$ vs $p\le 1$。
• Cauchy 准则的优势：无需先猜出极限值就能判定收敛性。