Cauchy 收敛准则

条件

数列 $\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}$。

结论

$\{a_n\}$ 收敛 $⟺$ $\{a_n\}$ 是 Cauchy 列。即：

$$\exists L\in \mathbb{R}:\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L⟺\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m,n>N:|a_m-a_n|<\epsilon .$$

几何/直觉理解

收敛要求”项靠近一个预先指定的目标 $L$“——而许多场合（无穷级数、迭代）中目标值正是要找的未知量。 Cauchy 准则把判定收敛性”内化”：只看数列自身项之间的距离是否最终任意小，无须引用极限。 直觉上：项越往后挤得越紧 ⇔ 项最终都聚集在某个点附近。

但这一等价完全依赖 $\mathbb{R}$ 的完备性： 在 $\mathbb{Q}$ 中，逼近 $\sqrt{2}$ 的数列是 Cauchy 列却不收敛——目标点 $\sqrt{2}$ 不在 $\mathbb{Q}$ 中。

证明

证明：

($\Rightarrow$) 设 $a_n\to L$。任给 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使 $\forall n>N:|a_n-L|<\epsilon /2$。 对 $m,n>N$：

$$|a_m-a_n|\le |a_m-L|+|L-a_n|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$$

故 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 列。

($\Leftarrow$) 设 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 列。

第 1 步：有界性。 取 $\epsilon =1$，存在 $N_0$ 使 $\forall n>N_0:|a_n-a_{N_0+1}|<1$。 故对 $n>N_0$，$|a_n|<|a_{N_0+1}|+1$。前 $N_0$ 项有限个，整体有界。

第 2 步：抽取收敛子列。 由有界性 + Bolzano–Weierstrass 定理（依 ANL-AX-001 确界原理）， 存在子列 $\{a_{n_k}\}$ 收敛于某 $L\in \mathbb{R}$。

第 3 步：原数列收敛于同一 $L$。 任给 $\epsilon >0$：

• 由 Cauchy 性，$\exists N_1:\forall m,n>N_1:|a_m-a_n|<\epsilon /2$；
• 由子列收敛，$\exists K:\forall k>K:|a_{n_k}-L|<\epsilon /2$，且可取 $n_k>N_1$。

固定一个这样的 $n_k$，对任意 $n>N_1$：

$$|a_n-L|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-L|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$$

依 ANL-DEF-004，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$。$■$

常见错误

• ✗ 把 Cauchy 条件写为"$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N:|a_{n+1}-a_n|<\epsilon$"。 反例：调和部分和 $H_n={\sum }_{k=1}^{n}1/k$ 满足相邻差 $\to 0$，但 $H_n\to \infty$ 发散。 必须是任意两项 $a_m,a_n$。
• ✗ 在 $\mathbb{Q}$ 中直接套用本结论。 反例：取 $a_n$ 为 $\sqrt{2}$ 的十进制截断 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$，在 $\mathbb{Q}$ 中是 Cauchy 列， 但极限 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$。等价性强依赖完备性。
• ✗ 颠倒量词："$\exists N,\forall \epsilon ,\forall m,n>N:\dots$"。 这等价于”从某项起 $a_m=a_n$“，把准则降级为最终常数列。

推论与应用

• 任何完备度量空间中”收敛 ⇔ Cauchy”
• 用于无穷级数收敛的 Cauchy 判别法、迭代法误差估计

跨专业应用

• 信号处理：判定 Fourier 部分和数列收敛，不必显式求出极限
• 数值分析：迭代算法以"$|x_m-x_n|<\text{tol}$"作终止条件，正源自此准则