单调有界定理在递推数列中的应用

题目

设 $a_1=1$，递推关系

$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},n\ge 1.$$

证明 $\{a_n\}$ 收敛，并求其极限。

提示

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• 用 ANL-THM-006 单调有界定理：先证 $\{a_n\}$ 单调，再证有界。
• 单调性：用归纳法比较 $a_{n+1}$ 与 $a_n$。先算前几项 $a_1=1,a_2=\sqrt{3}\approx 1.732,a_3=\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx 1.932$ 看趋势——递增。
• 有界性：用归纳法证 $a_n<2$。
• 求极限：极限若存在为 $L$，则 $L=\sqrt{2+L}$ 即 $L^2-L-2=0$，解出 $L=2$（舍弃 $L=-1$）。

解答

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第 1 步：归纳证明 $a_n<2$（有上界）

• 基础：$a_1=1<2$ ✓
• 归纳：设 $a_n<2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=2$ ✓

故 $\forall n:a_n<2$。

第 2 步：归纳证明 $a_{n+1}>a_n$（单调递增）

• 基础：$a_2=\sqrt{3}>1=a_1$ ✓
• 归纳：设 $a_n>a_{n-1}$，则 $$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-\sqrt{2+a_{n-1}}.$$ 分子有理化： $$=\frac{(2+a_n)-(2+a_{n-1})}{\sqrt{2+a_n}+\sqrt{2+a_{n-1}}}=\frac{a_n-a_{n-1}}{\sqrt{2+a_n}+\sqrt{2+a_{n-1}}}>0,$$ 因分子由归纳假设 $>0$，分母明显 $>0$。

故 $\{a_n\}$ 严格单调递增。

第 3 步：应用单调有界定理求极限

由 ANL-THM-006，$\{a_n\}$ 收敛。设 $L={\lim }_n{a}_n$，则 $L\le 2$ 且 $L\ge a_1=1$。

对递推关系 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 两边取极限（由 ANL-DEF-004 + 连续性）：

$$L=\sqrt{2+L}⟹L^2=2+L⟹L^2-L-2=0⟹(L-2)(L+1)=0.$$

故 $L=2$ 或 $L=-1$。 由 $L\ge 1>-1$，舍弃 $L=-1$。

因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$。$■$

考察点

• ANL-THM-006 单调有界定理的标准两步法（单调性 + 有界性）
• 递推数列处理的”先证收敛、再代回求极限”模式
• 归纳法证明数列性质的规范写法

备注

为什么不能颠倒顺序？

✗ 错误做法：“设 $L=\lim a_n$，由 $L=\sqrt{2+L}$ 得 $L=2$。” 这一步预设了 $L$ 存在——而存在性正是要证的。 如果不先证收敛，万一序列发散到 $\infty$ 或振荡，方程 $L=\sqrt{2+L}$ 没有意义。 反例：取 $a_1=-10$，则 $a_2=\sqrt{-8}$ 已无定义，序列根本不存在。

牛顿迭代视角：本题的递推 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 是不动点迭代 $a_{n+1}=g(a_n)$， 其中 $g(x)=\sqrt{2+x}$。$|g^{\prime }(x)|=\frac{1}{2\sqrt{2+x}}<\frac{1}{2}$ 在 $x\in [1,2]$ 上严格压缩， 故 $g$ 是压缩映射，不动点存在唯一（这是 Banach 不动点定理的初阶应用）。

变式：对 $a_1=c,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$，$c\ge 0$ 时极限均为 $2$； $c<-2$ 时序列从第二项起未定义。