单调有界定理

条件

设 ${a_{n}}$ 是单调递增的实数列，且有上界，即存在 $M \in R$ 使得 $a_{n} \leq M$ 对所有 $n$ 成立。

则 ${a_{n}}$ 收敛，且
$n \to \infty lim a_{n} = n \geq 1 sup a_{n} .$

对单调递减且有下界的数列，结论对应为收敛于 $in f_{n} a_{n}$ 。

把数列想成”只往上爬、被天花板挡住的人”：

两个条件缺一不可：

只有同时满足，才能”既不跑掉、也不乱跳”。

证明： 由有界性，集合 $S = {a_{n} : n \in N^{*}}$ 非空且有上界。据 ANL-AX-001 确界原理， $L := sup S$ 存在于 $R$ 。下证 $n \to \infty lim a_{n} = L$ 。

任取 $ε > 0$ 。由 $L$ 是最小上界， $L - ε$ 不再是上界，故存在 $N \in N^{*}$ 使得 $a_{N} > L - ε$ 。

对一切 $n > N$ ，由单调性 $a_{n} \geq a_{N} > L - ε$ ；又因 $L$ 是上界， $a_{n} \leq L < L + ε$ 。两侧合并：

L - ε < a_{n} \leq L ⟹ ∣ a_{n} - L ∣ < ε .

由 $ε$ 任意，依 ANL-DEF-004， $n \to \infty lim a_{n} = L = n sup a_{n}$ 。 $■$

✗ 在 $Q$ 上使用确界原理。反例： $a_{n} = (1 + 1/ n)^{n} \in Q$ 单调有界，但极限 $e \in / Q$ 。原因：定理依赖 $R$ 的完备性（ANL-AX-001）， $Q$ 缺此性质。
✗ 只验证”前若干项单调”或”从某项起单调”就直接套用。从 $N_{0}$ 起单调有界确实仍能用——但应明确丢弃前 $N_{0} - 1$ 项后再应用本定理，避免与”全程单调”混淆。
✗ 把”单调有界”换成”有界递增子列存在”。反例： $a_{n} = (- 1)^{n} + 1/ n$ 不单调，但有递增子列且有界——原数列本身不收敛。