一元多项式

定义陈述

设 $K$ 是数域（如 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$），$x$ 是不定元。 形如

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_i\in K,a_n\ne 0$$

的表达式称为 $K$ 上的一元多项式，称 $n$ 为 $f(x)$ 的次数，记作 $\mathrm{deg}f=n$。

约定零多项式 $0$ 的次数为 $-\infty$（或不定义）。

记号 $K[x]$ 表示 $K$ 上一元多项式的全体。

与相近概念的区别

概念	关键差别
多项式 $f(x)$	形式表达式，$x$ 是符号
多项式函数 $\hat{f}:K\to K$	$\hat{f}(c)=a_n{c}^n+\cdots +a_0$，需具体代值
形式幂级数	允许无穷项 ${\sum }_{i\ge 0}{a}_i{x}^i$

在数域 $\mathbb{R},\mathbb{C}$ 上，多项式与对应的多项式函数一一对应； 但在有限域上两者可不同（如 ${\mathbb{F}}_2$ 上 $x^2+x$ 与 $0$ 函数相同但不是同一多项式）。

直觉理解

把多项式想成”$x$ 的不同次数权重摆在一起的有限组合”。 形式表达 ≠ 函数：$f(x)$ 是符号串，承载系数信息；$\hat{f}$ 是赋值后的输出。 本课程多数情形把它们当作等价（通过 $K=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 中的同一性）， 但讨论”系数本身”时（如带余除法、整除性），必须把多项式视为形式对象。

链接

• 用于定义：ALG-DEF-002 多项式的整除关系
• 用于定理：ALG-THM-001 带余除法、ALG-THM-002 唯一分解定理