多项式的整除

定义陈述

设 $f(x),g(x)\in K[x]$。称 $g(x)$ 整除 $f(x)$（记作 $g(x)\mid f(x)$）， 若存在 $q(x)\in K[x]$ 使

$$f(x)=g(x)\cdot q(x).$$

此时也称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的倍式。

与相近概念的区别

概念	关键差别
$g\mid f$（整除）	存在多项式商，余式 = 0
$f/g$（带余除法）	一般有非零余式 $r(x)$，$\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}g$
公因式	同时整除两个或多个多项式

整除性依赖底域 $K$：$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$ 中不可分解，但在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $=(x-i)(x+i)$。

直觉理解

整除性是”乘法可逆”的镜像——g | f 意味着”$f$ 是 $g$ 的整数倍”，没有余下零碎。 类比整数：$3\mid 12$（12 = 3 × 4），$3\nmid 13$（13 = 3 × 4 + 1，余 1）。 多项式整除完全平行：把”整数 → 多项式""带余除法的余数 → 余式”对应过来。

关键差别：整数有”绝对值最小”的自然次序；多项式以次数作为”大小”度量。 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$ 是整除论证的核心工具。

基本性质

设 $f,g,h\in K[x]$：

• 反身性：$f\mid f$。
• 传递性：$f\mid g,g\mid h⟹f\mid h$。
• 线性组合：$f\mid g,f\mid h⟹f\mid (ag+bh)$ 对任意 $a,b\in K[x]$。
• 单位等价：$f\mid g$ 且 $g\mid f⟺f=c\cdot g$ 对某 $c\in K\setminus \{0\}$。

链接

• 前置：ALG-DEF-001
• 用于定理：ALG-THM-001 带余除法、ALG-THM-002 唯一分解定理