整除与互素综合

题目

设 $f(x),g(x),h(x)\in K[x]$。

1. 若 $\gcd (f,g)=1$ 且 $\gcd (f,h)=1$，证明 $\gcd (f,gh)=1$。
2. 若 $\gcd (f,g)=1$ 且 $f\mid gh$，证明 $f\mid h$。（互素版 Euclid 引理）
3. 举例说明：若去掉 $\gcd (f,g)=1$ 的条件，$f\mid gh$ 不能推出 $f\mid h$。

提示

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• 第 1 题：用 Bézout 等式。存在 $u_1,v_1$ 使 $u_{1}f+v_{1}g=1$，存在 $u_2,v_2$ 使 $u_{2}f+v_{2}h=1$。将两个等式相乘。
• 第 2 题：利用第 1 题的结论：$\gcd (f,gh)=1$。结合 $f\mid gh$，由最大公因式的性质可得 $f$ 与 $gh$ 的关系。
• 第 3 题：尝试在 $\mathbb{Q}[x]$ 中找简单的反例，让 $f$ 和 $g$ 有公因式。

解答

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第 1 题

因 $\gcd (f,g)=1$，由 Bézout 等式（ALG-THM-003），存在 $u_1,v_1\in K[x]$ 使

$$u_{1}f+v_{1}g=1.$$

同理，存在 $u_2,v_2\in K[x]$ 使

$$u_{2}f+v_{2}h=1.$$

将两式相乘：

$$1=(u_{1}f+v_{1}g)(u_{2}f+v_{2}h)=(u_1{u}_{2}f+u_1{v}_{2}h+v_1{u}_{2}g)f+(v_1{v}_2)(gh).$$

即存在 $U,V\in K[x]$ 使 $Uf+V(gh)=1$。由互素的 Bézout 判据（ALG-THM-003 结论 3），$\gcd (f,gh)=1$。$■$

第 2 题

已知 $f\mid gh$，即存在 $q\in K[x]$ 使 $gh=fq$。又由第 1 题，$\gcd (f,gh)=1$。但 $f\mid gh$ 且 $\gcd (f,gh)=1$ 意味着 $f$ 是 $gh$ 的因式且与 $gh$ 互素——这只有在 $f$ 是常数（$\mathrm{deg}f=0$）时才可能，但这里 $f$ 并非一定是常数。需要换一个思路。

正确证法：由 $\gcd (f,g)=1$，存在 $u,v$ 使 $uf+vg=1$。两边乘以 $h$：

$$ufh+vgh=h.$$

因 $f\mid gh$，设 $gh=fk$，代入：

$$ufh+v(fk)=f(uh+vk)=h.$$

故 $f\mid h$。$■$

第 3 题

取 $K=\mathbb{Q}$，$f(x)=x$，$g(x)=x$，$h(x)=1$。则 $\gcd (f,g)=x\ne 1$。$f\mid gh$ 即 $x\mid (x\cdot 1)=x$ 显然成立，但 $f\mid h$ 即 $x\mid 1$ 不成立。

更一般的反例：$f=g=(x-1)$，$h=1$，同样 $f\mid gh$ 成立但 $f\nmid h$。

这说明”互素”条件是必不可少的——没有它，$f$ 的信息可能会被 $g$ “携带”进乘积中，但无法传递到 $h$。

考察点

• ALG-DEF-002 整除的基本性质
• ALG-DEF-003 互素的 Bézout 等式刻画
• ALG-THM-003 辗转相除法与 Bézout 等式的存在性