对称多项式化初等对称多项式

题目

将下列对称多项式表示为初等对称多项式 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots$ 的多项式（$n=3$ 个变量 $x_1,x_2,x_3$）：

1. $F_1=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
2. $F_2=x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2+x_1^2{x}_3+x_1{x}_3^2+x_2^2{x}_3+x_2{x}_3^2$
3. $F_3=(x_1-x_2{)}^2(x_2-x_3{)}^2(x_3-x_1{)}^2$（三项式的判别式）

提示

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• ${\sigma }_1=x_1+x_2+x_3$
• ${\sigma }_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$
• ${\sigma }_3=x_1{x}_2{x}_3$

第 1 题：利用恒等式 $(x_1+x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$。

第 2 题：注意 ${\sigma }_1{\sigma }_2=(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$ 展开后的项含有 $F_2$。

第 3 题：判别式 $\Delta$ 是 $n=3$ 时最重要的对称多项式之一，与 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ 的关系可通过计算三次方程的判别式得到。结果应为 $\Delta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-4{\sigma }_2^3-4{\sigma }_1^3{\sigma }_3-27{\sigma }_3^2+18{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3$。

解答

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第 1 题

展开 $({\sigma }_1{)}^2$：

$${\sigma }_1^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=F_1+2{\sigma }_2.$$

故

$$F_1={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2.$$

第 2 题

计算 ${\sigma }_1{\sigma }_2$：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_1{\sigma }_2& =(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\\ & =(x_1^2{x}_2+x_1^2{x}_3+x_1{x}_2{x}_3)+(x_1{x}_2^2+x_1{x}_2{x}_3+x_2^2{x}_3)+(x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_3^2+x_2{x}_3^2)\\ & =F_2+3x_1{x}_2{x}_3=F_2+3{\sigma }_3.\end{array}$$

故

$$F_2={\sigma }_1{\sigma }_2-3{\sigma }_3.$$

第 3 题

三次多项式 $x^3+a{x}^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ 的判别式为

$$\Delta =a^2{b}^2-4b^3-4a^{3}c-27c^2+18abc.$$

由 Vieta 公式，$a=-{\sigma }_1$，$b={\sigma }_2$，$c=-{\sigma }_3$（注意符号）。代入并化简：

$$\Delta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-4{\sigma }_2^3-4{\sigma }_1^3{\sigma }_3-27{\sigma }_3^2+18{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3.$$

这是关于 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ 的一个 4 次齐次对称多项式。

考察点

• ALG-DEF-008 初等对称多项式与对称多项式基本定理
• Vieta 公式与三次方程判别式的关系