对称多项式与初等对称多项式

定义陈述

多元对称多项式

设 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ 是 $n$ 元多项式。称 $f$ 是对称多项式，若对任意排列 $\sigma \in S_n$，

$$f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots ,x_{\sigma (n)})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n).$$

即 $f$ 在任意置换变量下保持不变。

初等对称多项式

$n$ 个变量上的初等对称多项式（elementary symmetric polynomials）定义为

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_1& =x_1+x_2+\cdots +x_n=\sum _{1\le i\le n}{x}_i,\\ {\sigma }_2& =\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j,\\ {\sigma }_3& =\sum _{1\le i<j<k\le n}{x}_i{x}_j{x}_k,\\ & ⋮\\ {\sigma }_n& =x_1{x}_2\cdots x_n.\end{array}$$

更紧凑地：${\sigma }_k$ 是所有 $k$ 个不同变量的乘积之和（共 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 项）。

基本定理（陈述）

对称多项式基本定理：$K[x_1,\dots ,x_n]$ 中每一个对称多项式都可以唯一地表示为初等对称多项式 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ 的多项式。

换句话说，对称多项式环 $K[x_1,\dots ,x_n{]}^{S_n}$ 同构于 $K[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n]$。

与相近概念的区别

概念	关键差别
任意多项式	在变量置换下变化
对称多项式	在 $S_n$ 的所有置换下不变
初等对称多项式 ${\sigma }_k$	对称多项式的”生成元”——全部对称多项式由它们代数生成
齐次对称多项式	各单项式总次数相同的对称多项式（${\sigma }_k$ 正是 $k$ 次齐次）

直觉理解

对称多项式 = “不管你怎么打乱变量名，表达式都一模一样”。

例如 $x^2+y^2$ 是对称的（交换 $x$ 与 $y$ 得 $y^2+x^2$，相同），而 $x-y$ 不是（交换得 $y-x=-(x-y)$）。

初等对称多项式是对称多项式的”积木”——每个对称多项式都是这些积木的组合。

最经典的应用是 Vieta 公式：若 $r_1,\dots ,r_n$ 是多项式

$$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

的全部根（计重数），则

$${\sigma }_k(r_1,\dots ,r_n)=(-1{)}^k{a}_{n-k},1\le k\le n.$$

这建立了根 → 系数的对称桥梁：根的各种对称组合恰好对应多项式的系数。

基本性质

1. 对称多项式的对称性：对称多项式的和、积、复合仍是对称的。
2. 初等对称多项式 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ 代数无关（它们之间没有非平凡的多项式关系）。
3. 次数约束：${\sigma }_k$ 是 $k$ 次齐次多项式，且 $\mathrm{deg}{\sigma }_k=k$。
4. 对称多项式基本定理保证了表示的唯一性——可以用 ${\sigma }_i$ 的幂积展开任何对称多项式。

链接

• 前置：ALG-DEF-001 一元多项式
• 关联：ALG-THM-005 根的个数与 Vieta 公式、ALG-THM-002 唯一分解定理（根的对称函数与系数对应）
• 用于：后续方程论与 Galois 理论中构造预解式

跨专业应用

• 代数几何：射影空间中点的坐标是齐次坐标的 ${\sigma }_k$，对称性知识是 Grasmann 簇、旗簇等研究对象的基础
• 科学计算：已知根求多项式——由 $r_1,\dots ,r_n$ 构造 $f(x)=\prod (x-r_i)$ 展开时系数正是 $(-1{)}^k{\sigma }_k(r_1,\dots ,r_n)$