转置行列式

定义陈述

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵。$A$ 的转置 $A^{\top }=(a_{ji})$。$A^{\top }$ 的行列式称为 $A$ 的转置行列式，即

$$\det (A^{\top })=\sum _{\pi \in S_n}\mathrm{sgn}(\pi )a_{\pi (1),1}{a}_{\pi (2),2}\cdots a_{\pi (n),n}.$$

直觉理解

行列式的定义中，行标固定为 $1,2,\dots ,n$，列标按排列变动。转置行列式交换了行和列的角色。基本结论（ALG-THM-010 性质 1）：$\det (A^{\top })=\det (A)$——行和列在行列式中地位对称。

链接

• 前置：ALG-DEF-010 $n$ 阶行列式
• 性质：ALG-THM-010 行列式基本性质（$\det A^{\top }=\det A$）