$n$ 阶行列式（完全展开定义）

定义陈述

设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵。 $A$ 的行列式（determinant），记作 $det A$ 或 $∣ A ∣$ ，定义为

det A = π \in S_{n} \sum sgn (π) a_{1, π (1)} a_{2, π (2)} \dots a_{n, π (n)},

其中 $π$ 跑遍 $S_{n}$ 中所有 $n!$ 个排列， $sgn (π) = (- 1)^{τ (π)}$ 是排列的符号（ALG-DEF-009）。

$n = 1$ ： $det (a) = a$ 。
$n = 2$ ： $det (a c b d) = a d - b c$ 。
$n = 3$ ： $det a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$ （Sarrus 法则）。

行列式的完全展开有 $n!$ 项，每项从每行每列各取一个元素相乘，再按列标的排列奇偶性赋予符号。

$2$ 阶： $det = a d - b c$ ——对角积减反对角积。 $3$ 阶：可用 Sarrus 法则记忆——三条主对角线（加）和三条反对角线（减）。

为什么 $n \geq 4$ 时不建议用定义直接计算： $4! = 24$ 项尚可手工， $5! = 120$ 项已繁， $10! \approx 3.6 \times 1 0^{6}$ ——定义主要用于理论推导，实际计算用性质（ALG-THM-010）或展开公式。