行列式基本性质（多线性、反对称、行列对称）

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $det A$ 为其行列式。

转置不变性： $det (A^{⊤}) = det (A)$ 。
多线性：行列式对每一行（列）是线性的。若第 $i$ 行 $r_{i} = u + v$ ，则 $det ⋮ u + v ⋮ = det ⋮ u ⋮ + det ⋮ v ⋮ .$ 且 $det ⋮ c u ⋮ = c \cdot det ⋮ u ⋮$ 。
反对称性：交换两行（列），行列式变号。
两行相同 ⇒ 行列式为 0。
某行乘以常数加到另一行，行列式不变。
某行全为 0 ⇒ 行列式为 0。
三角矩阵的行列式等于对角元乘积：若 $A$ 是上三角或下三角，则 $det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$ 。

性质 1：由完全展开定义， $det (A^{⊤})$ 的求和项与 $det (A)$ ——对应（ $π \mapsto π^{- 1}$ ），符号相同。

性质 2：展开式中每项恰含一个第 $i$ 行元素，故该行线性叠加时整个和式也线性叠加。

性质 3：交换两行使列标排列的逆序数变化 $\pm 1$ ， $sgn$ 变号。

性质 4：由性质 3：交换相同两行得 $det = - det$ ，故 $det = 0$ 。

性质 5：将新行拆为原行 + 倍加行，由多线性和两行相同推得。

性质 6：由多线性提公因子 $0$ 即得。

性质 7：上三角阵的展开式中，只有恒等排列 $π (i) = i$ 的项非零（其他项必含下三角区域的零元素），故 $det = a_{11} \dots a_{nn}$ 。 $■$