Vandermonde 行列式

定义陈述

设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 $n$ 个数。Vandermonde 行列式定义为

$$V_n(x_1,\dots ,x_n)=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right).$$

直觉理解

Vandermonde 行列式是”用幂函数构造的矩阵”的行列式，第 $i$ 行是 $(1,x_i,x_i^2,\dots ,x_i^{n-1})$。

其求值公式（ALG-THM-013）给出：

$$V_n=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).$$

当且仅当 $x_i$ 互不相同时 $V_n\ne 0$——这正是多项式插值问题有唯一解的条件。

链接

• 前置：ALG-DEF-010
• 求值公式：ALG-THM-013 Vandermonde 行列式求值