初等变换对行列式的影响

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。对 $A$ 施行三种初等行变换。

结论

初等变换	行列式的变化
交换两行	$\det \to -\det$
某行乘以非零常数 $k$	$\det \to k\cdot \det$
某行的 $k$ 倍加到另一行	$\det$ 不变

列变换同样适用（由转置不变性）。

直觉理解

这三种变换的效果加上三角化，给出了计算行列式的实用算法：

1. 用行变换（类型 3）将矩阵化为上三角；
2. 记录类型 1 的次数（每次 $-1$）和类型 2 的因子；
3. 上三角行列式 = 对角元乘积。

链接

• 前置：ALG-THM-010 行列式基本性质
• 用于：ALG-THM-013 Vandermonde 行列式求值