矩阵可逆的充要条件（行列式刻画）

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。

结论

以下命题等价：

1. $A$ 可逆；
2. $$\begin{gathered} detA \\ neq0 \end{gathered}$$；
3. $A$ 的行（列）向量组线性无关；
4. $A$ 的秩 $operatornamerank(A)=n$；
5. $Ax=0$ 只有零解；
6. 对任意 $b$，$Ax=b$ 有唯一解。

且当 $$\begin{gathered} detA \\ neq0 \end{gathered}$$ 时，

$$\begin{gathered} A^{-1}= \\ frac1 \\ detA{A}^{\ast }. \end{gathered}$$

证明

(1) $Rightarrow$ (2)：$A$ 可逆 $$\begin{gathered} Rightarrow \\ exists{A}^{-1} \end{gathered}$$ 使 $A{A}^{-1}=I$, 取行列式得 $$\begin{gathered} detA \\ cdot \\ det(A^{-1})=1 \\ Rightarrow \\ detA \\ neq0 \end{gathered}$$。

(2) $Rightarrow$ (1)：若 $$\begin{gathered} detA \\ neq0 \end{gathered}$$，由伴随矩阵性质 $$\begin{gathered} A \\ cdot{A}^{\ast }=( \\ detA)I \end{gathered}$$ 得 $$\begin{gathered} A^{-1}=A^{\ast }/ \\ detA \end{gathered}$$。$blacksquare$

常见错误

• ✗ 混淆行列式与秩的关系——满秩等价于行列式非零，但只有方阵才适用。
• ✗ 认为 $detA=0$ 时 $A$ 一定是零矩阵——事实上 $detA=0$ 只是说明 $A$ 是奇异矩阵，可以非零。