伴随矩阵

定义陈述

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式（ALG-DEF-011）。伴随矩阵（adjugate matrix）$A^{\ast }$ 定义为

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right).$$

即 $A^{\ast }$ 的第 $(i,j)$ 元是 $a_{ji}$ 的代数余子式 $A_{ji}$——注意下标转置。

直觉理解

伴随矩阵是将 $A$ 的每个元素换成代数余子式后转置得到的矩阵。它的核心性质是：

$$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)\cdot I_n.$$

当 $\det A\ne 0$ 时，即得 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$.

常见错误

• ✗ 忘记转置：直接把 $A_{ij}$ 放在 $(i,j)$ 位置，而不是 $(j,i)$ 位置。

链接

• 前置：ALG-DEF-011 代数余子式、ALG-THM-011 按一行展开
• 用于：ALG-THM-017 矩阵可逆的充要条件