Cramer 法则

条件

设 $Ax=b$ 是 $n$ 元 $n$ 个方程的线性方程组，系数矩阵 $A$ 可逆（$\det A\ne 0$）。

结论

方程组有唯一解，且解的第 $j$ 个分量为

$$x_j=\frac{\det A_j}{\det A},$$

其中 $A_j$ 是将 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数列 $b$ 所得的矩阵。

直觉理解

将解的第 $j$ 分量视为”将系数矩阵第 $j$ 列替换为 $b$ 后体积变化之比”——这等价于消元法中第 $j$ 个未知数的系数被 $b$ 取代。

证明

由 $A$ 可逆知 $x=A^{-1}b$。利用 $A^{-1}=A^{\ast }/\det A$：

$$x_j=\frac{{\sum }_{k=1}^n{A}_{kj}{b}_k}{\det A}=\frac{\det A_j}{\det A}.$$

最后一个等式按第 $j$ 列展开 $\det A_j$ 即得。$■$

常见错误

• ✗ 直接用 Cramer 法则做数值计算——$n$ 较大时计算量 $O(n!)$，远不如高斯消元 $O(n^3)$。
• ✗ 忘记分母 $\det A$，只会用 $\det A_j$ 当解。

链接

• 前置：ALG-THM-011 按一行展开、ALG-DEF-015 伴随矩阵
• 用于：ALG-THM-017 矩阵可逆的充要条件