行列式的加边法（升阶法）

条件

设 $D_{n} = det (A)$ 是 $n$ 阶行列式。加边法指给 $D_{n}$ 加一行和一列（称为”边”）构造 $n + 1$ 阶行列式，使其值不变但结构更易计算。

若 $A$ 的每一行都可以表示为某个”基向量”的线性组合，则可构造
$D = det (1 β α^{T} A)$
使得 $D = D_{n}$ （选择合适的 $α, β$ ），然后利用分块或初等变换求 $D$ 。

加边法技巧：给行列式”补一行一列”，将 $det A$ 嵌入到一个更大的行列式中。选择的 $α$ 和 $β$ 使新增行/列与 $A$ 的行/列相消后，新行列式退化为原行列式，但中间步骤可利用新结构的对称性。

常见形式：若 $A$ 的 $(i, j)$ 元形如 $a_{ij} = u_{i} v_{j}$ （秩 1 矩阵），可构造

det 1 - u_{1} ⋮ - u_{n} v_{1} \dots A v_{n} = det A .