按行（列）展开（Laplace 一行展开）

条件

设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式（ALG-DEF-011）。

$det A$ 可按第 $i$ 行展开：
$det A = j = 1 \sum n a_{ij} A_{ij}, 对固定 i .$
也可按第 $j$ 列展开：
$det A = i = 1 \sum n a_{ij} A_{ij}, 对固定 j .$

此外，异行（列）展开为零：

j = 1 \sum n a_{ij} A_{kj} = 0 (i \neq = k), i = 1 \sum n a_{ij} A_{ik} = 0 (j \neq = k) .

将 $n$ 阶行列式”按一行拆开”：第 $i$ 行的每个元素 $a_{ij}$ 乘上它的代数余子式 $A_{ij}$ ，再加起来。

异行展开为零是因为它相当于计算”将第 $k$ 行替换为第 $i$ 行后的行列式”——两行相同，行列式为 0。

按第 $i$ 行分离完全展开式：展开式中含 $a_{ij}$ 的项恰为 $a_{ij} A_{ij}$ （因为 $A_{ij}$ 包含了 $(- 1)^{i + j}$ 和 $(n - 1)$ 阶余子式所有排列项）。求和即得。 $■$