实对称矩阵正交对角化（谱定理）

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵（$A^{\top }=A$）。

结论

存在正交矩阵 $Q$（$Q^{\top }Q=I$）和对角矩阵 $D$，使

$$Q^{\top }AQ=D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n),$$

其中 ${\lambda }_i$ 全是实数，$Q$ 的列是相互正交的单位特征向量。

即：实对称矩阵可被正交矩阵对角化为实对角矩阵。

直觉理解

实对称矩阵的好性质：特征值全是实数，不同特征值的特征向量自动正交，总有一组正交的单位特征向量基。这是线性代数中最优美也最实用的结果之一——SVD、PCA、谱聚类都源于此。

链接

• 前置：ALG-THM-040 可对角化充要条件
• 跨课：CROSS-003 二次型与极值