可对角化充要条件

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，${\lambda }_i$ 是特征值。

结论

$A$ 可对角化 $⟺$ 每个特征值的几何重数等于代数重数。

• 代数重数（algebraic multiplicity）：${\lambda }_i$ 作为特征多项式根的重数。
• 几何重数（geometric multiplicity）：$\dim \ker (A-{\lambda }_{i}I)$。

特别地，若 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值，则 $A$ 必可对角化。

直觉理解

几何重数 ≤ 代数重数总是成立。可对角化要求每个特征值有”足够多”的线性无关特征向量（几何重数 = 代数重数），这样才能凑满 $n$ 个特征向量构成基。

链接

• 前置：ALG-THM-039 特征向量无关性、ALG-DEF-038 可对角化