用夹逼定理求 lim sin(n)/n 与 lim n^(1/n)

题目

利用 ANL-THM-005 夹逼定理，证明：

1. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$；
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$。

分析

第 1 题分析：$\sin n$ 在 $[-1,1]$ 间振荡——直接讨论极限困难。 但绝对值有简单上界 $|\sin n|\le 1$，于是 $|\sin n/n|\le 1/n$。 把”振荡的部分关进绝对值，转嫁到衰减的部分”——这是夹逼定理处理”振荡 × 衰减”的经典套路。

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第 2 题分析：$\sqrt[n]{n}$ 形如"${\infty }^0$"不定型，须改写。 关键观察：$\sqrt[n]{n}\ge 1$（$n\ge 1$ 时显然），故只需上界。 设 $\sqrt[n]{n}=1+h_n$（$h_n\ge 0$），则 $n=(1+h_n{)}^n$。 由二项式：$n\ge \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)h_n^2=\frac{n(n-1)}{2}{h}_n^2$， 故 $h_n^2\le \frac{2}{n-1}$，得 $0\le h_n\le \sqrt{2/(n-1)}\to 0$。 这把”指数式渐近 1”化为”误差的代数上界”，再用夹逼定理。

证明 / 解答

第 1 题

证明： 对所有 $n\ge 1$，由 $|\sin n|\le 1$：

$$-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}.$$

而 $-1/n\to 0$ 且 $1/n\to 0$。由 ANL-THM-005，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$。$■$

第 2 题

证明： 当 $n\ge 1$ 时 $\sqrt[n]{n}\ge 1$，故记 $h_n=\sqrt[n]{n}-1\ge 0$。

由 $n=(1+h_n{)}^n$ 及二项式定理（$n\ge 2$ 时）：

$$n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)h_n^k\ge \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)h_n^2=\frac{n(n-1)}{2}{h}_n^2.$$

故 $h_n^2\le \frac{2}{n-1}$，即 $0\le h_n\le \sqrt{\frac{2}{n-1}}$。

而 $0\to 0$ 且 $\sqrt{2/(n-1)}\to 0$。由 ANL-THM-005，$h_n\to 0$， 从而 $\sqrt[n]{n}=1+h_n\to 1$。$■$

关键技巧

• 绝对值消振荡：$\sin /\cos$ 类振荡因子用 $|\cdot |\le 1$ 转化为夹逼上界。
• 二项式控误差：处理 $\sqrt[n]{a_n}$ 类极限的标准手法——设 $a_n=1+h_n$（或 $a_n=1-h_n$），用二项式从下方 / 上方提取主项。
• 从两端逼近 $L$：构造夹逼时，下界 $a_n$ 与上界 $c_n$ 必须都收敛于同一具体值 $L$。

变式

• 变式 1：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}$（$a>0$）。提示：分 $a>1,a=1,0<a<1$ 三种情形。
• 变式 2：求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}$。提示：用 $2^n=(1+1{)}^n\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$。
• 变式 3：证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos n+n^2}{n^2}=1$。提示：把 $\cos n/n^2$ 单独夹逼到 0。