数列夹逼定理（夹挤定理）

条件

设 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 是实数列，满足：

1. 夹挤关系：$\exists N_0,\forall n>N_0:a_n\le b_n\le c_n$；
2. 同一极限：$a_n\to L$ 且 $c_n\to L$（同一个 $L$）。

结论

$b_n\to L$。

几何/直觉理解

把三个数列想成三辆车：$\{a_n\}$ 在最下面，$\{c_n\}$ 在最上面，$\{b_n\}$ 被夹在中间。 若上下两辆车都开向同一个目的地 $L$，那么中间这辆没得选，必须也开向 $L$。

两个条件缺一不可：

• 仅有夹挤而极限不同：例如 $a_n=0,c_n=1,b_n=(-1{)}^n/2+1/2$，无法判定 $b_n$ 极限。
• 仅有相同极限而无夹挤关系：例如 $a_n=1/n\to 0$, $c_n=1/n\to 0$, 但 $b_n=(-1{)}^n$ 不被夹住。

证明

证明： 任给 $\epsilon >0$。

由 $a_n\to L$：$\exists N_1,\forall n>N_1:L-\epsilon <a_n<L+\epsilon$。 由 $c_n\to L$：$\exists N_2,\forall n>N_2:L-\epsilon <c_n<L+\epsilon$。

取 $N=\max \{N_0,N_1,N_2\}$。对任意 $n>N$：

$$L-\epsilon <a_n\le b_n\le c_n<L+\epsilon ⟹|b_n-L|<\epsilon .$$

依 ANL-DEF-004，$b_n\to L$。$■$

常见错误

• ✗ 把”两侧极限同为 $L$“弱化为"$a_n-c_n\to 0$"。 反例：$a_n=n,c_n=n+1/n$，差趋于 0，但都不收敛，无法直接得到 $b_n$ 收敛。必须都收敛于同一具体值。
• ✗ 忽视”从某项起”的限定。 反例：若仅在 $n\le 100$ 处满足夹挤、之后不满足，结论不成立。 夹挤关系只需”最终成立”——但必须最终成立。

应用要点

夹逼定理常配合已知极限的标准数列使用：

已知	典型应用
$1/n\to 0$	夹住 $\sin (n)/n$、$\cos (n)/n$ 等振荡 / 衰减项
$r^n\to 0$（$\Vert r\Vert <1$）	夹住几何衰减项
$1/n^k\to 0$	夹住多项式衰减项
$(1+1/n{)}^n\to e$	配合估计指数型表达式

例题见 ANL-EX-001。

链接

• 推广：函数极限的夹逼定理（待建）
• 与 ANL-THM-006 单调有界定理并列为求极限的两大基本工具

跨专业应用

• 数值分析：当算法误差被两个易估上下界夹住，误差极限可由两端夹逼判定
• 概率论：随机变量序列的几乎处处收敛常通过夹逼上下控制变量得到