用极限四则运算求多项式 / 有理式极限

题目

利用 ANL-THM-004 极限四则运算，求下列极限：

1. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+3n-1}{5n^2-n+4}$；
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+n}{n^3-2}$；
3. $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$。

分析

第 1、2 题：分子分母同时是多项式，分子分母同除分母最高次幂， 把"$\infty /\infty$"型化为”已知简单极限的四则运算”。

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第 3 题：$\sqrt{n^2+n}-n\approx n-n=0$ 看似 $\infty -\infty$ 不定型。 关键技巧：分子有理化——乘以 $(\sqrt{n^2+n}+n)/(\sqrt{n^2+n}+n)$， 把根号差转化为多项式商，再用四则运算。

证明 / 解答

第 1 题

解： 分子分母同除 $n^2$（分母最高次幂）：

$$\frac{2n^2+3n-1}{5n^2-n+4}=\frac{2+3/n-1/n^2}{5-1/n+4/n^2}.$$

由 $1/n\to 0,1/n^2\to 0$，及 ANL-THM-004 加减运算： 分子 $\to 2+0-0=2$；分母 $\to 5-0+0=5\ne 0$。

由除法运算：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+3n-1}{5n^2-n+4}=\frac{2}{5}.$$

$■$

第 2 题

解： 分子分母同除 $n^3$：

$$\frac{n^2+n}{n^3-2}=\frac{1/n+1/n^2}{1-2/n^3}.$$

由 $1/n\to 0,1/n^2\to 0,2/n^3\to 0$： 分子 $\to 0+0=0$；分母 $\to 1-0=1\ne 0$。

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+n}{n^3-2}=0$。$■$

第 3 题

解： 分子有理化：

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$$

分子分母同除 $n$：

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}.$$

由 $1/n\to 0$ 及连续性 $\sqrt{1+1/n}\to \sqrt{1+0}=1$（开根可视为四则的极限推广，严格证明需连续函数）： 分母 $\to 1+1=2$。

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac{1}{2}$。$■$

关键技巧

• 同除最高次幂：处理"$\infty /\infty$"型多项式之比的标准首选。规则：分母最高次幂决定分母极限是否非零。
• 分子有理化：处理"$\infty -\infty$"型根号差。模板：$\sqrt{f}-\sqrt{g}=(f-g)/(\sqrt{f}+\sqrt{g})$。
• 极限封闭于四则：只要每个子式分别收敛、且分母极限非零，最终结果可”逐步代入”。
• 必须验证分母极限非零：除法运算的前提条件，否则需另寻方法。

变式

• 变式 1：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2-3n+1}{n+1}$（提示：分母低于分子，结果发散到 $+\infty$）。
• 变式 2：$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$（提示：有理化后用 $1/n\to 0$）。
• 变式 3：$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$（结合 1 与 3 的技巧）。